Question

10．下列命題中的真命題是（　　）

• A． ?x₀∈R，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$
• B． ?x₀∈R，使得$x_0^2-{x_0}+1=0$
• C． ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• D． ?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的最值判斷A的正誤；二次方程的根判斷B的正誤；函數(shù)的切線與函數(shù)的值的關(guān)系判斷C的正誤；反例判斷D的正誤．

解答 解：x∈R，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，∵$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，∴?x₀∈R，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$，不正確；
x₀∈R，$x_0^2-{x_0}+1=0$，對(duì)應(yīng)的函數(shù)中因?yàn)椤?-3＜0，所以方程無(wú)解．所以B不正確；
?x∈（0，+∞），e^x＞x+1，因?yàn)閥=e^x，是增函數(shù)，x=0時(shí)，函數(shù)的切線方程為：y=x+1，所以選項(xiàng)C正確；
?x∈（0，π），sinx＞cosx，顯然x=$\frac{π}{6}$時(shí)，不滿足不等式，所以選項(xiàng)D不正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．