Question

已知復(fù)數(shù)z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且．
（1）若復(fù)數(shù)z₁對應(yīng)的點(diǎn)M（m，n）在曲線上運(yùn)動，求復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）將（1）中的軌跡上每一點(diǎn)按向量方向平移個(gè)單位，得到新的軌跡C，求C的軌跡方程；
（3）過軌跡C上任意一點(diǎn)A（異于頂點(diǎn)）作其切線，交y軸于點(diǎn)B，求證：以線段AB為直徑的圓恒過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)復(fù)數(shù)條件求出關(guān)系式，結(jié)合復(fù)數(shù)z₁對應(yīng)的點(diǎn)M（m，n）在曲線上運(yùn)動即可得出復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）先按向量方向平移個(gè)單位得到即為向 x 方向移動 1×=個(gè)單位，向 y 方向移動 1×1=1 個(gè)單位，再進(jìn)行函數(shù)式的變換即可得出C的軌跡方程；
（3）設(shè)A（x，y），斜率為k，切線y-y=k（x-x） 代入（y+6）²=-2x-3消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根的判別式為0利用向量的數(shù)量即可求得定點(diǎn)，從而解決問題．
解答：解：（1）∵i-z₂=（m-ni）•i-（2+4i）=（n-2）+（m-4）i；
∴⇒．
∵復(fù)數(shù)z₁對應(yīng)的點(diǎn)M（m，n）在曲線上運(yùn)動
∴x+2=-（y+7）²-1⇒（y+7）²=-2（x+3）．
復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程：（y+7）²=-2（x+3）．
（2）∵按向量方向平移個(gè)單位，==1×．
即為向 x 方向移動 1×=個(gè)單位，向 y 方向移動 1×1=1 個(gè)單位
（y+7）²=-2（x+3）⇒y+7=±．
得軌跡方程 y+7=±⇒（y+6）²=-2（x+）=-2x-3．
C的軌跡方程為：（y+6）²=-2x-3．
（3）設(shè)A（x，y），斜率為k，切線y-y=k（x-x） （k≠0），
代入（y+6）²=-2x-3整理得：
（y+6）²=-2（）-3，△=0⇒k=，
設(shè)定點(diǎn)M（1，0），且．
∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點(diǎn)M，M點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0）．
點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，本題巧妙地把點(diǎn)的軌跡方程和復(fù)數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，解題時(shí)要注意復(fù)數(shù)的合理運(yùn)用．