（本題12分）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是

邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)ÐMGA＝a（）

（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為a的函數(shù)

（2）求y＝的最大值與最小值

          

 

【答案】

（1）S1＝GM·GA·sina＝，S2＝   

（2）當(dāng)a＝或a＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240   10分

當(dāng)a＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216                            

【解析】因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，

所以   AG＝，ÐMAG＝，               2分

由正弦定理

得

則S1＝GM·GA·sina＝             4分

同理可求得S2＝                    6分

（1）   y＝＝       8分

＝72（3＋cot2a）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305115867186630/SYS201205230513324375421910_DA.files/image013.png">，所以當(dāng)a＝或a＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240   10分

當(dāng)a＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216                                    12分

 

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（本題12分）如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，

AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E

與直線AA1的交點(diǎn)。

（1）證明：（i）EF∥A1D1；

（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值。

 

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（本題12分）如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上一點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求證：；

 

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（（本題12分）如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上一點(diǎn)

（1）求證：面；

（2）求證：；

 

 

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（本題12分）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M為線段AB的中點(diǎn)，將△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角A－CD－M的余弦值．

 

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（（本題12分）如圖2，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、BD、BB1的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求直線EF與直線CG所成角的余弦值；

 (Ⅱ)求直線C1C與平面GFC所成角的正弦值；

     (Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

 

 

 

 

 

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