Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax+

1-a

x+1

（a≥

1

2

）．
（Ⅰ）當(dāng)曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=-2x+1平行時(shí)，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

f′(x)=

1

x+1

-a-

1-a

(x+1)2

=

-x(ax+2a-1)

(x+1)2

，x＞-1，（2分）
（I）由題意可得f′(1)=

1-3a

4

=-2，解得a=3，（3分）
因?yàn)閒（1）=ln2-4，此時(shí)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（ln2-4）=-2（x-1），
即y=-2x+ln2-2，與直線l：y=-2x+1平行，故所求a的值為3．（4分）
（II）令f'（x）=0，得到x1=

1

a

-2，x2=0，
由a≥

1

2

可知

1

a

-2≤0，即x₁≤0．（5分）
①即a=

1

2

時(shí)，x1=

1

a

-2=0=x2
所以，f′(x)=-

x2

2(x+1)2

≤0，x∈(-1，+∞)，（6分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）．（7分）
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，-1＜

1

a

-2＜0（6分），即-1＜x₁＜0=x₂，
所以，在區(qū)間(-1，

1

a

-2)和（0，+∞）上，f′（x）＜0；（8分）
在區(qū)間(

1

a

-2，0)上，f′（x）＞0．（9分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

a

-2，0)．（10分）
③當(dāng)a≥1時(shí)，x1=

1

a

-2≤-1，
所以，在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＞0；（11分）
在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＜0，（12分）
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．（13分）
綜上討論可得：
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

a

-2，0)；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．