Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（-x）-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二倍角三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡，得到f（x）=．再由三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)區(qū)間公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求出當x∈時，∈[]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（-x）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=．…..（3分）
可得f（x）的最小正周期…..（5分）
又∵由，解得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．
由，得．…..（8分）
∴當，即時，函數(shù)f（x）有最大值是1；…..（10分）
當，即時，函數(shù)f（x）有最小值是．…..（11分）
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值是1，最小值是．…..（12分）
點評：本題給出三角函數(shù)表達式，求函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間，并求閉區(qū)間上的最值．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．