【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調區(qū)間；
（2）設
，若對任意
、
，且
，都有
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函數
的定義域和導數
，然后分
和
兩種情況討論，分析在
的符號，可得出函數的單調區(qū)間；
（2）設
，由函數和
在
上的單調性，將不等式
等價轉化為
，并構造函數
，將問題轉化為函數
在上是減函數，然后由
在上恒成立，結合參變量分離法可求出實數
的取值范圍.
（1）函數的定義域為，
.
當時，
恒成立，此時，函數在上單調遞增；
當時，由得
；由
得
.
此時，函數的單調遞增區(qū)間為
，單調遞減區(qū)間為
；
（2）
時，函數在上遞增，在上遞減，
不妨設，則
，
，
等價于
，
即，令
，
等價于函數在上是減函數，
，即
在恒成立，
分離參數，得
，
令
，
，
在上單調遞減，
，
，又，故實數的取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年，根據其種植規(guī)模與以往的種植經驗，產自該果園的單個“糖心蘋果”的果徑（最大橫切面直徑，單位：
）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布
.
（1）一顧客購買了20個該果園的“糖心蘋果”，求會買到果徑小于56的概率；
（2）為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進行改進.如圖是2009年至2018年，該果園每年的投資金額
（單位：萬元）與年利潤增量
（單位：萬元）的散點圖：
該果園為了預測2019年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了關于的兩個回歸模型；
模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：
；
模型②：由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線：
的附近，對投資金額做交換，令
，則
，且有
，
，
，
.
（I）根據所給的統(tǒng)計量，求模型②中關于的回歸方程；
（II）根據下列表格中的數據，比較兩種模型的相關指數
，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測投資金額為20萬元時的年利潤增量（結果保留兩位小數）.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 |
|
|
| 102.28 | 36.19 |
附：若隨機變量
，則
，
；樣本
的最小乘估計公式為
，
；
相關指數
.
參考數據：
，
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
、
、
，如果存在實數
使得
，那么稱
為
、
的生成函數．
(1) 下面給出兩組函數， 
是否分別為
、
的生成函數？并說明理由；
第一組： 
， 
， 
第二組： 
， 
， 
；
(2) 設
， 
， 
，生成函數
．若不等式
在
上有解，求實數
的取值范圍；
(3) 設
， 
，取
，生成函數
圖像的最低點坐標為
．若對于任意正實數
，且
，試問是否存在最大的常數
，使
恒成立？如果存在，求出這個
的值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設
Ⅰ
為減少對周邊區(qū)域的影響，試確定E，F的位置，使
與
的面積之和最��；
Ⅱ為節(jié)省建設成本，求使
的值最小時AE和BF的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值和f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）﹣m＝0在區(qū)間[0，
]上有兩個實數解，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在我們的教材必修一中有這樣一個問題，假設你有一筆資金，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下:
方案一：每天回報
元；
方案二：第一天回報
元，以后每天比前一天多回報元；
方案三：第一天回報
元，以后每天的回報比前一天翻一番.
記三種方案第
天的回報分別為
，
，
.
（1）根據數列的定義判斷數列
，
，
的類型，并據此寫出三個數列的通項公式；
（2）小王準備做一個為期十天的短期投資，他應該選擇哪一種投資方案？并說明理由.
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