如圖,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,且SA=SC=,M、N分別是AB、SB的中點(diǎn).

(1)求證:AC⊥SB;

(2)求二面角N-CM-A的大小;

(3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

答案:
解析:

  (1)如圖,作SO⊥AC于O,由平面SAC⊥平面ABC,知SO⊥平面ABC.

  ∵SA=SC=,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,

  ∴O為AC中點(diǎn),OB⊥AC,,OA=OC=2,,且OS、OA、OB兩兩互相垂直.

  以O(shè)A、OB、OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0)、、、C(-2,0,0).

  ∴=(-4,0,0),,

  ∴AC⊥SB.

  (2)∵M(jìn)、N分別是AB、SB的中點(diǎn),

  ∴,,,

  設(shè)=(x,y,z)是平面CMN的一個(gè)法向量,則

  ,

  

  ∴,取得平面CMN的一個(gè)法向量

  又是平面ACM的一個(gè)法向量,

  又二面角N-CM-A為鈍角,

  ∴二面角N-CM-A的大小為

  (3)∵,是平面CMN的一個(gè)法向量,

  ∴點(diǎn)B到平面CMN的距離


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(1)求證:AB⊥BC;
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2
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