Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-x，h（x）=-kx³+kx²-x+1．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)h（x）≤f（x）對(duì)任意x∈[0，1]恒成立時(shí)k的最大值為λ，證明：4＜λ＜6．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明①$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，②存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1；
（2）由h（x）≤f（x），化簡(jiǎn)可得k（x²-x³）≤e^x-1，
當(dāng)x=0，1時(shí)，k∈R，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k≤$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$，
要證：4＜λ＜6，則需證以下兩個(gè)問題：
①$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，
②存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6成立，
先證：①$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4，即證e^x-1＞4（x²-x³），
由（1）可得：e^x-x≥1恒成立，
∴e^x-1≥x，又x≠0，∴e^x-1＞x，
即證x≥4（x²-x³）?1≥4（x-x²）?（2x-1）²≥0，
（2x-1）²≥0，顯然成立，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，
再證②存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6成立，
取x₀=$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}-1}{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}$=8（$\sqrt{e}$-1），
∵$\sqrt{e}$＜$\frac{7}{4}$，∴8（$\sqrt{e}$-1）＜6×$\frac{3}{4}$=6，
故存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6，
由①②可得：4＜λ＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．