Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n+1-3，（n∈N^*），a₃=5．各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₂，b₃=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前10項(xiàng)和S₁₀；
（2）若m=b₂b₃b₄b₅b₆b₇，試求m的值及數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n+1-3，（n∈N^*），即a_n+1-a_n=3，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3，
又a₃=5，∴a₁+2×3=5，解得a₁=-1．
∴a_n=-1+3（n-1）=3n-4．
S₁₀=$\frac{10（-1+3×10-4）}{2}$=125．
（2）設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的公比為q＞0，
∵b₁=a₂=2，b₃=a₄=8，
∴8=2q²，q＞0，解得q=2．
∴b_n=2ⁿ．
m=b₂b₃b₄b₅b₆b₇=2²×2³×…×2⁷=2^2+3+…+7=${2}^{\frac{6×（2+7）}{2}}$=2²⁷．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．