Question

如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D為半圓弧的中點，若異面直線BD和AB₁所成角的大小為arccos，求：
（1）該幾何體的體積；
（2）直線AD與平面ACC₁A₁所成角的大�。�

Answer 1

解：連A₁D，由題設(shè)知A₁、D關(guān)于B₁C對稱，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)AA₁=h，則A（0，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，h），
D（2，2，h），=（2，0，h），=（0，2，h），
∵異面直線BD和AB₁所成角的大小為arccos
∴
∴2h²+16=3h²，∴h=4，
（1）V=+=+=16+8π．
（2）=（2，2，4），平面ACC₁A₁的法向量=（0，1，0），
設(shè)直線AD與平面ACC₁A₁所成角為θ，則sinθ=，∴θ=，
故直線AD與平面ACC₁A₁所成角的大小為．
分析：（1）連A₁D，由題設(shè)知A₁、D關(guān)于B₁C對稱，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用異面直線BD和AB₁所成角的大小為arccos，求得AA₁，利用V=+可求幾何體的體積；
（2）=（2，2，4），平面ACC₁A₁的法向量=（0，1，0），利用向量的夾角公式，可求直線AD與平面ACC₁A₁所成角的大�。�
點評：本題考查幾何體的體積，考查線線角、線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，綜合性強．