如圖,該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成,半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D為半圓弧數(shù)學公式的中點,若異面直線BD和AB1所成角的大小為arccos數(shù)學公式,求:
(1)該幾何體的體積;
(2)直線AD與平面ACC1A1所成角的大。

解:連A1D,由題設(shè)知A1、D關(guān)于B1C對稱,建立如圖所示的空間直角坐標系,
設(shè)AA1=h,則A(0,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,h),
D(2,2,h),=(2,0,h),=(0,2,h),
∵異面直線BD和AB1所成角的大小為arccos

∴2h2+16=3h2,∴h=4,
(1)V=+=+=16+8π.
(2)=(2,2,4),平面ACC1A1的法向量=(0,1,0),
設(shè)直線AD與平面ACC1A1所成角為θ,則sinθ=,∴θ=
故直線AD與平面ACC1A1所成角的大小為
分析:(1)連A1D,由題設(shè)知A1、D關(guān)于B1C對稱,建立空間直角坐標系,用坐標表示點與向量,利用異面直線BD和AB1所成角的大小為arccos,求得AA1,利用V=+可求幾何體的體積;
(2)=(2,2,4),平面ACC1A1的法向量=(0,1,0),利用向量的夾角公式,可求直線AD與平面ACC1A1所成角的大。
點評:本題考查幾何體的體積,考查線線角、線面角,考查利用空間向量解決立體幾何問題,綜合性強.
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