Question

（2012•臺州一模）已知函數(shù)f（x）=kx，g(x)=

t

x2

-1，k為非零實數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)t=k²，若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)性相同，求k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)k，都能找到t∈[1，2]，使得關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且僅有一個實數(shù)根，且在[-5，-1]上至多有一個實數(shù)根．若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用f（x），g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)性相同，建立一個條件方程，然后求k的取值范圍．
（Ⅱ）利用f（x）=g（x），構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=kx³+x²-t，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)根的分布情況．

解答：解：（Ⅰ） （1）當(dāng)k＞0時，因為f（x）=kx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，…（1分）
所以g(x)=

t

x2

-1在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
但在（0，+∞）上g′(x)=-

2t

x3

=-

2k2

x3

＜0，所以不符合已知；…（3分）
（2）因為在（0，+∞）上g′(x)=-

2t

x3

=-

2k2

x3

＜0，所以g(x)=

t

x2

-1在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以f（x）=kx在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則k＜0，即 k的取值范圍是（-∞，0）．…（6分）
（Ⅱ）解：因為f（x）=g（x）?kx³+x²-t=0．   …（7分）
設(shè)h（x）=kx³+x²-t，所以h′(x)=3kx2+2x=0⇒x=0或-

2

3k

．
因為k＞0，所以h（x）在(-∞，-

2

3k

)↑，(-

2

3k

，0)↓，(0，+∞)↑，
而h（0）=-t＜0，所以h（x）=0在[1，5]上至多一個實數(shù)根，在[-5，-1]上至多
有二個實數(shù)根．                         …（9分）
（1）由于k＞0，要能找到t∈[1，2]，使得關(guān)于x的方程h（x）=0在[1，5]上有且僅有一個實數(shù)根，必須存在t∈[1，2]，使得：

h(1)≤0 h(5)≥0

?

k≤t-1 125k≥t-25

?0＜k≤1；          …（11分）
（2）因為“能找到t∈[1，2]，使得關(guān)于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上至多有一個實數(shù)
根”的反面是“對任意的t∈[1，2]，使得關(guān)于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上恰有
二個實數(shù)根”，即反面?對任意的t∈[1，2]，下列不等式組成立．

-5≤- 2 3k ≤-1 h(-5)≤0 h(-1)≤0 h(- 2 3k )＞0

?

24

125

≤k＜

6

9

．…（13分）
因為k＞0，所以，“能找到t∈[1，2]，使得關(guān)于x的方程h（x）=0在[-5，-1]上至
多有一個實數(shù)根”?0＜k＜

24

125

或

6

9

≤k＜+∞．…（14分）
由（1）（2）同時成立得：0＜k＜

24

125

或

6

9

≤k≤1．
所以，存在正實數(shù)k符合要求，所有k的值的集合為：
{k|0＜k＜

24

125

或

6

9

≤k≤1}．    …（15分）
（直接討論、或討論函數(shù)f（x）=kx，g(x)=

t

x2

-1的圖象的關(guān)系或變量分離轉(zhuǎn)化
為三次函數(shù)討論，請酌情給分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，對應(yīng)兩個函數(shù)的相等問題，則一般需要構(gòu)造新函數(shù)去研究．