Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

．
（1）若方程f（x）=x的解稱為函數(shù)y=f（x）的不動點，求a_n+1=f（a_n）的不動點的值；
（2）若a₁=2，bn=

an-1

an+1

，求數(shù)列{b_n}的通項．
（3）當(dāng)n≥3時，求證：b1+b2+b3+…+bn＜

241

648

．

Answer 1

分析：（1）利用不動點的定義，根據(jù)方程a_n+1=f（a_n）得an=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

，由此可得結(jié)論；
（2）由數(shù)列遞推式，寫出兩式，兩式相除，可得bn+1=bn3，由此可得數(shù)列{b_n}的通項；
（3）先證明b_n=(

1

3

)3n-1＜(

1

3

)2n（n≥3），再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：由方程a_n+1=f（a_n）得an=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

，解得a_n=0或a_n=-1或a_n=1．…（2分）
（2）解：an+1+1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

+1=

(an+1)3

3 a 2 n +1

，an+1-1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

-1=

(an-1)3

3 a 2 n +1

兩式相除得

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)3，即bn+1=bn3…（5分）
由a₁=2可以得到b_n＞0，則lnb_n+1=3lnb_n
又b1=

1

3

得lnb₁=-ln3，
∴lnbn=(-ln3)×3n-1=ln(

1

3

)n-1
∴b_n=(

1

3

)3n-1．…（8分）
（3）證明：當(dāng)n≥3時，3^n-1=（1+2）^n-1≥

C

0 n-1

+2

C

1 n-1

+…+2n-1

C

n-1 n-1

＞2n
∴b_n=(

1

3

)3n-1＜(

1

3

)2n（n≥3）…（11分）
當(dāng)n≥3時，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

3

+

1

27

+(

1

3

)6…+(

1

3

)2n=

10

27

+

( 1 3 )6[1-( 1 3 )2n-4]

1- 1 9

＜

10

27

+

1

648

=

241

648

…（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查放縮法的運用，屬于中檔題．