Question

已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間、最大值；

（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

解法一 （Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）當(dāng)即時，函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個根.

當(dāng)即時，函數(shù)的圖象有一個交點，即方程有一個根.

顯然當(dāng)時，方程沒有根.

【解析】（Ⅰ）

當(dāng)時，；當(dāng)時

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）

通過圖象可對進(jìn)行討論：

當(dāng)即時，函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個根.

當(dāng)即時，函數(shù)的圖象有一個交點，即方程有一個根.

顯然當(dāng)時，方程沒有根.

解法二 （Ⅰ），

由，解得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

最大值為

（Ⅱ）令   

（1）當(dāng)時，，則，

所以，

因為， 所以

因此在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時，當(dāng)時，，則，

所以，

因為，，又

所以 所以

因此在上單調(diào)遞減.

綜合（1）（2）可知 當(dāng)時，，

當(dāng)，即時，沒有零點，

故關(guān)于的方程根的個數(shù)為0；

當(dāng)，即時，只有一個零點，

故關(guān)于的方程根的個數(shù)為1；

當(dāng)，即時，

①當(dāng)時，由（Ⅰ）知

要使，只需使，即；

②當(dāng)時，由（Ⅰ）知

；

要使，只需使，即；

所以當(dāng)時，有兩個零點，故關(guān)于的方程根的個數(shù)為2；

綜上所述：

當(dāng)時，關(guān)于的方程根的個數(shù)為0；

當(dāng)時，關(guān)于的方程根的個數(shù)為1；

當(dāng)時，關(guān)于的方程根的個數(shù)為2.

【考點定位】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等主干知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用.第一問的研究為第二問進(jìn)行數(shù)形結(jié)合鋪平了“道路”，使的相對位置關(guān)系更明晰.