Question

對于函數(shù)f(x)=a+

2

2x+1

(x∈R)，
（1）用定義證明：f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；
（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

分析：（1）按取點，作差，變形，判斷的過程來即可．
（2）利用奇函數(shù)定義域內(nèi)有0，f（0）=0來求a值；
（3）利用單調(diào)性和奇偶性把f（2t+1）+f（t-5）≤0轉(zhuǎn)化為2t+1≥-t+5即可．

解答：（1）證明；設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在實數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，故2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)
（2）解：由（1）的f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，即函數(shù)定義域為R，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0?a=-1．
（3）解：有（1）（2）可得f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．轉(zhuǎn)化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥

4

3

故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥

4

3

}．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．在用定義證明或判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時，基本步驟是取點，作差或作商，變形，判斷．