Question

數(shù)列{a_n}的前W項和為S_n，且S_n={a_n}數(shù)列{c_n}，滿足c_n=，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并求數(shù)列{c_n}的前n項和{T_n}；
（II）張三同學(xué)利用第（I）問中的T_n設(shè)計了一個程序框圖（如圖），但李四同學(xué)認(rèn)為這個程序如果被執(zhí)行將會是一個“死循環(huán)”（即程序會永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意李四同學(xué)的觀點？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）、根據(jù)題中數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，的公式便可推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的通項公式，根據(jù)給出的c_n的通項公式，分別討論當(dāng)n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列{c_n}的前n項和{T_n}；
（II）分別討論當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時Tn-P的最終結(jié)果為2011，故李四的說法正確，該程序會是一個死循環(huán)．
解答：解：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁==2，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-S_n-1=（n²+3n-（n-1）²-3（n-1）=n+1，
∴an=n+1（n），當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）=+（2ⁿ-1），
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2^n-1）=+（2^n-1-1），
∴Tn=；
（II）記D_n=T_n-P，則當(dāng)n為偶數(shù)時，Dn=+（2ⁿ-1）--24n=（2ⁿ-1）-，
∴D_n+2-D_n=（2ⁿ⁺¹-1）--（2ⁿ-1）-=2ⁿ⁺²-47，
∴從第四項開始，數(shù)列{D_n}的偶數(shù)項開始遞增，
而D₂，D₄，…，D₁₀均小于2010，D₁₂＞2010，即n偶數(shù)時，Dn=2011，
當(dāng)n為奇數(shù)時，Dn=+（2^n-1-1）--24n=（2^n-1-1）-23n+，
同理D_n+2-D_n=2ⁿ⁺¹-46，
∴從第五項開始，數(shù)列{D_n}的奇數(shù)項開始遞增，
而D₁，D₃，…，D₁₁均小于2010，D₁₃＞2010，即n偶數(shù)時，Dn=2011，
故李四的說法正確．
點評：本題考查了數(shù)列的基本知識和前n項和的求法以及循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列、循環(huán)結(jié)構(gòu)的綜合掌握，解題時注意分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．