Question

設(shè)-5＜a＜5，集合M={x∈N|2^x-（a+5）x-10=0}．若M≠?，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)a的和等于（　�。�

• A．-

  3

  5

• B．4
• C．

  1

  10

• D．-

  1

  10

Answer 1

分析：先由條件判斷x≥4，由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，可得f（x）在x≥4時(shí)單調(diào)增，故至多只有一個(gè)零點(diǎn)．分別令f（4）=0、
f（5）=0、f（6）=0、f（7）=0，求得a的值，x≥7時(shí)，f（x）恒大于0，不會(huì)有零點(diǎn)．最后把求得的a值相加，即得所求．

解答：解：因-5＜a＜5，x為自然數(shù)，且2^x=（a+5）x+10≥10，∴x≥4．
令f（x）=2^x-（a+5）x-10 得：f'（x）=2^x ln2-（a+5）≥16ln2-（a+5）＞0，
即f（x）在x≥4時(shí)單調(diào)增，故至多只有一個(gè)零點(diǎn)．
令f（4）=6-4（a+5）=0，解得 a=-3.5；
f（5）=22-5（a+5）=0，解得：a=-0.6；
f（6）=54-6（a+5）=0，得：a=4；
f（7）=118-7（a+5）＞0，x≥7時(shí)，f（x）恒大于0，不會(huì)有零點(diǎn)．
因此滿足條件的a有3個(gè)，其和為-3.5-0.6+4=-0.1，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題．