Question

甲、乙、丙三人射擊同一目標，各射擊一次，是否擊中是相互獨立的．將甲、乙、丙各自擊中目標依次記為事件A，B，C，它們的對立事件分別記為

.

A

，

.

B

，

.

C

．若P(A)=

3

5

，P(ABC)=

1

5

，P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=

1

15

，且P（B）＞P（C）．
（Ⅰ） 求至少有一人擊中目標的概率；
（Ⅱ） 求P（B）、P（C）的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)至少有一人擊中目標的對立事件為三人都不擊中，代入對立事件概率減法公式，即可得到答案；
（II）由已知中P(A)=

3

5

，P(ABC)=

1

5

，P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=

1

15

，根據(jù)概率乘法公式，我們構(gòu)造出關(guān)于P（B），P（C）的方程組，解方程組即可得到P（B）、P（C）的值．

解答：解：（Ⅰ）至少有一人擊中目標的對立事件為三人都不擊中，
故所求概率P=1-P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=1-

1

15

=

14

15

…（5分）
（II）∵P(A)=

3

5

，P(ABC)=

1

5

，P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=

1

15

，
∴

3

5

•P（B）•P（C）=

1

5

（1-

3

5

）•[1-P（B）]•[1-P（C）]=

1

15

即P（B）•P（C）=

1

3

=

2

6

P（B）+P（C）=

7

6

即P（B），P（C）是方程6x²-7x+2=0的兩根，又P（B）＞P（C）．
P（B）=

2

3

，P（C）=

1

2

點評：本題考查的知識點是對立事件概率減法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，根據(jù)題意分析事件與事件之間的互斥、對立關(guān)系，分析一個事件是分類的還是分步的，是解答此類問題的關(guān)鍵．