Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠-1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a∈（1，e]（e=2.71828…），設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求證：當x₁，x₂∈[1，a]時，不等式|F（x₁）-F（x₂）|＜1成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得f′（x）•g′（x）=（x+

a

x

）（a+1）=

x2+a

x

•（a+1）≥0，當x∈[1，3]時，

a＞-1 a≤-x2

或

a＜-1 a≤-x2

恒成立，求得-x²的最值，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由題意得F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）f′（x）=x+

a

x

，g′（x）=a+1，
∵f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上都為單調(diào)函數(shù)，且它們的單調(diào)性相同，
∴f′（x）•g′（x）=（x+

a

x

）（a+1）=

x2+a

x

•（a+1）≥0，
∵x∈[1，3]，∴（a+1）（a+x²）≥0，
∴當x∈[1，3]時，

a＞-1 a≤-x2

或

a＜-1 a≤-x2

恒成立，
∵-9≤-x²≤-1，∴a＞-1或a≤-9．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，
∴F′（x）=x+

a

x

-（a+1）=

(x-a)(x-1)

x

，
∵F（x）定義域是（0，+∞），a∈（1，e]，即a＞1，
∴F（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，a）是減函數(shù)，在（a，+∞）是增函數(shù)
∴當x=1時，F(xiàn)（x）取極大值M=F（1）=-a-

1

2

，
當x=a時，F(xiàn)（x）取極小值m=F（a）=alna-

1

2

a²-a，
∵x₁，x₂∈[1，a]，∴|F（x₁）-F（x₂）|≤|M-m|=M-m，
設(shè)G（a）=M-m=

1

2

a²-alna-

1

2

，則G′（a）=a-lna-1，
∴G″（a）=1-

1

a

，∵a∈（1，e]，∴G″（a）＞0，
∴G′（a）=a-lna-1，在a∈（1，e]是增函數(shù)，∴G′（a）＞G′（1）=0，
∴G（a）=

1

2

a²-alna-

1

2

，在a∈（1，e]也是增函數(shù)
∴G（a）≤G（e），即G（a）≤

1

2

e2-e-

1

2

=

(e-1)2

2

-1，
而

1

2

e2-e-

1

2

=

(e-1)2

2

-1＜

(3-1)2

2

-1=1，
∴G（a）=M-m＜1，
∴當x₁，x₂∈[1，a]時，不等式|F（x₁）-F（x₂）|＜成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性中的運用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．