Question

13．已知正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上、下底面面積分別是$\frac{9}{4}\sqrt{3}$和9$\sqrt{3}$，高是$\frac{3}{2}$．
（1）求三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高；
（2）求三棱臺ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積和表面積．

Answer 1

分析 （1）由正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上、下底面面積分別求出A₁B₁=3，AB=6，取B₁C₁中點D₁，BC中點D，取△A₁B₁C₁和△ABC的重心O₁和O，連結(jié)OO₁，A₁D₁、AD、DD₁，則DD₁是斜高，由此能求出三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高．
（2）由三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高結(jié)合正三棱臺的性質(zhì)能求出三棱臺ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積和表面積．

解答 解：（1）∵正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上、下底面面積分別是$\frac{9}{4}\sqrt{3}$和9$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}×sin60°$=$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，解得A₁B₁=3，
$\frac{1}{2}×A{B}^{2}×sin60°=9\sqrt{3}$，解得AB=6，
取B₁C₁中點D₁，BC中點D，取△A₁B₁C₁和△ABC的重心O₁和O，
連結(jié)OO₁，A₁D₁、AD、DD₁，則DD₁是斜高，
過D₁作D₁E⊥AD，交AD于E，
則DE=$\frac{1}{3}AD-\frac{1}{3}{A}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{3}$（3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的高是$\frac{3}{2}$，
∴OO₁=ED₁=$\frac{3}{2}$，
∴三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高DD₁=$\sqrt{E{{D}_{1}}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$．
（2）三棱臺ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積：
S_側(cè)=3${S}_{梯形BC{C}_{1}{B}_{1}}$=3×$\frac{3+6}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$．
三棱臺ABC-A₁B₁C₁的表面積：
S_表=S_側(cè)+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$+9$\sqrt{3}$=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$+9$\sqrt{3}$=$\frac{99\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正三棱臺的斜高、側(cè)面積和表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征的合理運用．