Question

已知數(shù)列{b_n}中，，b_n+1b_n=b_n+2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：
（Ⅰ）求證：a_n+1+2a_n+1=0；
（Ⅱ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 求證：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由已知，得出，移向整理即可．
（Ⅱ）在（Ⅰ） 的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出，通過(guò)求出的通項(xiàng)公式，得出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由上應(yīng)得出，考慮到（-1）ⁿ的取值，宜相鄰兩項(xiàng)結(jié)合，借助放縮法尋求解決．
解答：證明：（Ⅰ），移向整理得a_n+1+2a_n+1=0
解：（Ⅱ）∵a_n+1=-2a_n-1∴
又 ∴為等比數(shù)列
∴∴
證明：（Ⅲ）∴
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1==
（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n=
 ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n
綜上所述，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合．考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項(xiàng)公式、不等式的證明．考查變形、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力．