如圖，已知AB是過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A（x1，y1），B（x2，y2）．
求證：
（1）|AB|=x1+x2+p；
（2）y1 y2=-p2，x1 x2=數(shù)學公式；
（3）（理科）直線的傾斜角為θ時，求弦長|AB|．
（3）（文科）當p=2，直線AB的傾斜角為數(shù)學公式時，求弦長|AB|．

（1）證明：∵AB是過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的弦，
∴由拋物線定義可得|AB|=x1++x2+=x1+x2+p；
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+，代入y2=2px，可得y2-2pmy-p2=0
∴y1y2=-p2，∴x1x2=；
（3）（理科）解：由（2）知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，∴=（y1+y2）2-2y1y2=4p2m2+2p2，
∴=2p（x1+x2）=4p2m2+2p2，∴x1+x2=2pm2+p，
∴θ=90°時，m=0，∴|AB|=2p；θ≠90°時，m=，|AB|=+2p；
（4）（文科）由（3）（理科）知，|AB|=+2p=8．
分析：（1）利用拋物線的定義，即可證明；
（2）設直線AB的方程為x=my+，代入y2=2px，再利用韋達定理，即可得到結論；
（3）（理科）根據(jù)（1）的結論，表示出x1+x2即可；
（3）（文科）根據(jù)（3）（理科）的結論，即可求解．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查弦長的計算，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線l與拋物線x2=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）．
（1）若動點M滿足
AB
•
BM
+
2
|
AM
|=0，求動點M的軌跡Q；
（2） F1，F(xiàn)2是軌跡Q的左、右焦點，過F1作直線l（不與x軸重合），l與軌跡Q相交于C，D，并與圓x2+y2=3相交于E，F(xiàn)．當
F2E
•
F2F
=λ，且λ∈[
2
3
，1]時，求△F2CD的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知AB是過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A（x1，y1），B（x2，y2）．
求證：
（1）|AB|=x1+x2+p；
（2）y1 y2=-p2，x1 x2=
p2
4
；
（3）（理科）直線的傾斜角為θ時，求弦長|AB|．
（3）（文科）當p=2，直線AB的傾斜角為
π
4
時，求弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+b與拋物線C交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實數(shù)a，b，k滿足的等量關系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線l與拋物線x2=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）．
（1）若動點M滿足
AB
•
BM
+
2
|
AM
|=0，求動點M的軌跡Q；
（2） F1，F(xiàn)2是軌跡Q的左、右焦點，過F1作直線l（不與x軸重合），l與軌跡Q相交于C，D，并與圓x2+y2=3相交于E，F(xiàn)．當
F2E
•
F2F
=λ，且λ∈[
2
3
，1]時，求△F2CD的面積S的取值范圍．
精英家教網(wǎng)

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