(Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上?并說明理由.
21.(Ⅰ)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為
,整理得
①
設(shè)是方程①的兩個不同的根,
∴ ②
且由N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),得
解得k=-1,代入②得,的取值范圍是(12,+∞).
于是,直線AB的方程為
解法2:設(shè)則有
依題意,
∵N(1,3)是AB的中點(diǎn),∴
又由N(1,3)在橢圓內(nèi),∴
∴的取值范圍是(12,+∞).
直線AB的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直線CD的方程為y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入橢圓方程,整理得
③
又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根,
∴
于是由弦長公式可得
④
將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程得
⑤
同理可得
⑥
∵當(dāng)時,.
假設(shè)存在>12,使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓,則CD必為圓的直徑,點(diǎn)M為圓心.
點(diǎn)M到直線AB的距離為
⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當(dāng)>12時,A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心,為半徑的圓上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得:
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角|AN|2=|CN|·|DN|,
即 = ( +d) (-d)⑧
由⑥式知,⑧式左邊=
由④和⑦知,⑧式右邊=-=
∴⑧式成立,即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.)
解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB, ∴直線CD方程為y-3=x-1,代入橢圓方程,整理得
③
將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程,整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨設(shè)
又B為A關(guān)于CD的對稱點(diǎn),∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
(注:也可用勾股定理證明AC⊥AD).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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a2 |
y2 |
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F2P |
F2Q |
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(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省臨海市高三第三次模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設(shè)A,B是C上的兩個動點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西南昌10所省高三第二次模擬突破沖刺理科數(shù)學(xué)(一)(解析版) 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓
C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設(shè)A,B是C上的兩個動點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)M,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2,若存在,求出M點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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