Question

已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）記函數(shù)圖象為曲線，設(shè)點，是曲線上不同的兩點，點為線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點．試問：曲線在點處的切線是否平行于直線？并說明理由．

 

Answer 1

（1），（2）（3）不平行

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，分四步：第一步，求定義域，，第二步，求導，，關(guān)鍵在因式分解，目的解不等式. 第三步解不等式由，得，第四步，寫結(jié)論，的單調(diào)增區(qū)間為．（2）求函數(shù)最值，其實質(zhì)還是研究其單調(diào)性. 當時，由，得，，①當>1，即時，在上是減函數(shù)，所以在上的最小值為．②當，即時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為．③當，即時，在上是增函數(shù)，所以的最小值為．（3）是否平行，還是從假設(shè)平行出發(fā)，探究等量關(guān)系是否成立. 設(shè)，則點N的橫坐標為，直線AB的斜率=，曲線C在點N處的切線斜率,由得，不妨設(shè)，，則，下面研究函數(shù)是否有大于1的解.易由函數(shù)單調(diào)性得方程無解.

試題解析：（1）， 2分

因為，，所以，解，得，

所以的單調(diào)增區(qū)間為． 4分

（2）當時，由，得，，

①當>1，即時，在上是減函數(shù)，

所以在上的最小值為． 6分

②當，即時，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以的最小值為． 8分

③當，即時，在上是增函數(shù)，

所以的最小值為．

綜上，函數(shù)在區(qū)間上的最小值

10分

（3）設(shè)，則點N的橫坐標為，

直線AB的斜率

=，

曲線C在點N處的切線斜率

，

假設(shè)曲線C在點N處的切線平行于直線AB，則，

即， 13分

所以，不妨設(shè)，，則，

令，，

所以在上是增函數(shù)，又，所以，即不成立，

所以曲線C在點N處的切線不平行于直線AB． 16分

考點：利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)求最值，利用導數(shù)研究方程是否有解