Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．過點A的平面與棱PB，PC，PD分別交于點E，F(xiàn)，G（E，F(xiàn)，G三點均不在棱的端點處）．
（I）求證：平面PAB丄平面PBC
（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求$\frac{PF}{PC}$的值；
（Ⅲ）直線AE是否可能與平面PCD平行？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在四棱錐P-ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．
（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，則有PC丄AF，又因為PA=AC，即F為PC中點，可得$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{2}$，
（Ⅲ）假設(shè)AE∥面PCD，又因為AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，與已知矛盾．

解答 解（Ⅰ）在四棱錐P-ABCD中，∵底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD，
∴PA⊥BC，BC⊥AB，又因為PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，
∵BC?面PBC，∴平面PAB丄平面PBC．
（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，則有PC丄AF，又因為PA=AC，∴F為PC中點，
∴$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{2}$，
（Ⅲ）直線AE是不可能與平面PCD平行．
假設(shè)AE∥面PCD，又因為AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，與已知矛盾．
假設(shè)不成立，∴直線AE是不可能與平面PCD平行．

點評 本題考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系，屬于中檔題．