Question

設(shè)A∪B∪C={1，2，3，4，5}，且A∩B={1，3}，符合此條件的（A、B、C）的種數(shù)______．

Answer 1

A∩B={1，3}，A∪B∪C={1，2，3，4，5}，
A∪B包含著{1，3}．
下面分類討論．
若除了元素1，3之外，A∪B還包含包含了k個(gè)元素，k=0，1，2，3．
表面上看起來分類討論很麻煩，但實(shí)際上核心的東西就是兩個(gè)事情：
1．先看這k個(gè)元素．
這k個(gè)元素是從剩下的{2，4，5}中選擇出來的k個(gè)，C₃^k種．
每個(gè)這樣的元素都是恰好屬于A，B之一，2^k種．
所以，對于A，B而言，就有C₃^k×2^k種方法．
2．再考慮1，3以及那另外的k個(gè)元素是否在C中（其余的就不用考慮了，他們必然在C中），
顯然有2^k+2種方式．
結(jié)合1，2，就知道這樣的A，B，C的選法有n（k）=C₃^k?2^k?2^k+2種．
∴符合此條件的（A、B、C）的種數(shù)=4+C₃¹?2?2³+C₃²?2²?2⁴+2³?2⁵ 
=4+48+192+256=500．
故答案為：500．