Question

某中學(xué)舉辦“上海世博會(huì)”知識(shí)宣傳活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)的“抽卡有獎(jiǎng)游戲”特別引人注目，游戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)吉祥物海寶”或“世博會(huì)會(huì)徽”，要求4人一組參加游戲，參加游戲的4人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽2張，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2張“世博會(huì)吉祥物海寶”卡才能獲獎(jiǎng)，當(dāng)某人獲獎(jiǎng)或者盒中卡片抽完時(shí)游戲終止．
（Ⅰ）游戲開始之前，一位高中生問：“盒子中有幾張‘世博會(huì)會(huì)徽’卡？”主持人說：“若從盒中任抽2張卡片不都是‘世博會(huì)會(huì)徽’卡的概率為

25

28

”請(qǐng)你回答有幾張“世博會(huì)會(huì)徽”卡呢？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，甲、乙、丙、丁4人參加游戲，約定甲、乙、丙、丁依次抽�。�用隨機(jī)變量ξ表示游戲終止時(shí)總共抽取的次數(shù)（注意，一次抽取的是兩張卡片），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)若從盒中任抽2張卡片不都是世博會(huì)會(huì)徽卡的概率，寫出2張卡片不都是世博會(huì)會(huì)徽的對(duì)立事件的概率，寫出2張卡片不都是世博會(huì)會(huì)徽的對(duì)立事件的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到概率，列出方程，得到結(jié)果．
（II）ξ表示游戲終止時(shí)，所有人共抽取卡片的次數(shù)，得到變量的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫出分布列，利用期望公式得到變量的期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)盒子中有“會(huì)徽卡”n張，
∵若從盒中任抽2張卡片不都是‘世博會(huì)會(huì)徽’卡的概率為

25

28

依題意有1-

C 2 n

C 2 8

=

25

28

，
解得n=3，
即盒中有“會(huì)徽卡”3張．
（Ⅱ）ξ表示游戲終止時(shí)，所有人共抽取卡片的次數(shù)，
∴ξ的所有可能取值為1，2，3，4，
P(ξ=1)=

C 2 5

C 2 8

=

5

14

；
P(ξ=2)=

C 2 3

C 2 8

•

C 2 5

C 2 6

+

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 2 4

C 2 6

=

2

7

；P(ξ=3)=

C 2 3

C 2 8

•

C 1 1 • C 1 5

C 2 6

•

C 2 4

C 2 4

+

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 2 2

C 2 6

•

C 2 4

C 2 4

+

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

•

C 2 3

C 2 4

=

3

14

；P(ξ=4)=

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

•

C 1 1 • C 1 3

C 2 4

•

C 2 2

C 2 2

=

1

7

，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×

5

14

+2×

2

7

+3×

3

14

+4×

1

7

=

15

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查對(duì)立事件的概率，考查互斥事件的概率，是一個(gè)綜合題，注意解題的格式．