Question

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為

6

3

．

Answer 1

分析：而當(dāng)BC∥α?xí)r，其B、D、C三點(diǎn)的射影分別為B₁，D₁，C₁時(shí)，且∠B₁AC₁=90°．∠DAD₁為直線AD與平面α所成角且最�。�求出即可．

解答：解：如圖所示，不妨設(shè)AB=2．則AD=

3

．
假設(shè)一開(kāi)始正△ABC在平面α內(nèi)時(shí)的位置，則∠BAC=60°．
而當(dāng)BC∥α?xí)r，其B、D、C三點(diǎn)的射影分別為B₁，D₁，C₁時(shí)，且∠B₁AC₁=90°．
∠DAD₁為直線AD與平面α所成角且最小．
則AD1=

1

2

B1C1=

1

2

BC=1，∴DD1=

AD2-A D 2 1

=

2

．
此時(shí)sin∠DAD1=

DD1

AD

=

2

3

=

6

3

．
當(dāng)BC與平面α部平行時(shí)，可以看出：其DD₁長(zhǎng)度必然增大．
因此直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為

6

3

．
故答案為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：正確找出直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵．