Question

17．如圖，AB是圓O的一條直徑，弦CD垂直于AB，垂足為點G，E是劣弧$\widehat{BD}$上一點，點E處的切線與CD的延長線交于點P，連接AE，交CD于點F．
（1）求證：PE=PF；
（2）求證：DF•CF=2GF•PF．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質，弦CD垂直于AB，證明∠PEF=∠PFE，即可證明PE=PF；
（2）由△PEF∽△OEB，得出$\frac{PE}{OE}=\frac{EF}{EB}$．△AGF∽△AEB，得出$\frac{AF}{AB}$=$\frac{GF}{EB}$，再將兩式相除，把AF•EF=DF•CF，PE=PF，AB=2OE代入即可證明DF•CF=2GF•PF．

解答 證明：（1）連接OE，則OE⊥EP，∠OAE=∠OEA．
∵弦CD垂直于AB，
∴∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠PEF，
∵∠AFG=∠PFE，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；
（2）連接BE，則
∵△PEF∽△OEB，∴$\frac{PE}{OE}=\frac{EF}{EB}$．①
∵△AGF∽△AEB，∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{GF}{EB}$．②
∵AB=2OE，
∴①÷②可得$\frac{2PE}{AF}$=$\frac{EF}{GF}$，
∴AF•EF=2PE•GF，
∵AF•EF=DF•CF，PE=PF，
∴DF•CF=2GF•PF．

點評 本題考查相似三角形的判定及性質，考查切線的性質，考查學生分析解決問題的能力，有一定難度，關鍵是對數字2的處理．