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如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求證：BD⊥平面ADC．
分析：不妨設AD=BD=CD=1，則由題意可得AB=AC=
2
，AD⊥BD．根據
BD
•
AC
=（
AD
-
AB
）•
AC
=
AD
•
AC
-
AB
•
AC
，計算
AD
•
AC
=1，
AB
•
AC
=1，
可得
BD
•
AC
=0，即BD⊥AC．再利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥平面ADC．
解答：證明：不妨設AD=BD=CD=1，則由題意可得AB=AC=
2
，AD⊥BD，AD⊥DC．故有
AD
•
DC
=0．
∵
BD
•
AC
=（
AD
-
AB
）•
AC
=
AD
•
AC
-
AB
•
AC
，
由于
AD
•
AC
=
AD
•（
AD
+
DC
）=
AD
•
AD
=1，
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cos 60°=
2
×
2
×
1
2
=1．
∴
BD
•
AC
=0，即BD⊥AC．
又已知AD∩AC=A，∴BD⊥平面ADC．
點評：本題主要考查證明直線和平面垂直的方法，兩個向量數量積的運算，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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