Question

2．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4S_n-1=a_n²+2a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過4S_n-1=a_n²+2a_n，令n=1可得首項，當(dāng)n≥2時，利用4a_n=a_n²+2a_n-（a_n-1²+2a_n-1）可得公差，進(jìn)而可得結(jié)論．
（2）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂項求和法能證明$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：當(dāng)n=1時，4a₁=4S₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁+1，
解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，4S_n=a_n²+2a_n+1，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1，
相減得4a_n=a_n²+2a_n-（a_n-1²+2a_n-1），即a_n²-a_n-1²=2（a_n+a_n-1），
又a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，則a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
（T_n）_min=T₁=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2×1+1}）$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．