Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)， 是曲線圖象上的兩個(gè)相異的點(diǎn)，若直線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求得的解析式，分別解可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2） 在上單調(diào)遞增，由在恒成立，求的取值范圍；（3）由是方程的根可得，用表示，令，則，構(gòu)造函數(shù)，求的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性得在上單調(diào)遞減， ，可求得的范圍。

（1），

令或，

的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.

即，所以，

令在上單調(diào)遞增，

∴，對(duì)恒成立，

,對(duì)恒成立，

又 ，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

，故.

（3），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，即，所以是方程的兩個(gè)根，

所以有，

∴

令，則，設(shè)，

∴，

∴在上單減，∴，

故.