如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），下頂點(diǎn)為A（0，-b），直線AF與橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，若F恰好為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若FC=
2
3
，求橢圓的方程．
分析：（1）依題意，可求得2c=
a2
c
，從而可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）可知直線AB的方程為y=x-c，設(shè)C（x0，x0-c），將其代入橢圓方程，可求得x0，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出FC=
2
3
，可求得c，從而可求得橢圓的方程．
解答：解（1）因?yàn)锽在右準(zhǔn)線上，且F恰好為線段AB的中點(diǎn)，所以2c=
a2
c
，…（2分）
即
c2
a2
=
1
2
，所以橢圓的離心率e=
2
2
…（4分）
（2）由（1）知a=
2
c，b=c，所以直線AB的方程為y=x-c，
設(shè)C（x0，x0-c），因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以
x02
2c2
+
(x0-c)2
c2
=1，…（6分）
即x02+2（x0-c）2=2c2，
解得x0=0（舍去），x0=
4
3
c．
所以C為（
4
3
c，
1
3
c），…（8分）
因?yàn)镕C=
2
3
，由兩點(diǎn)距離公式可得（
4
3
c-c）2+（
1
3
c）2=
4
9
，
解得c2=2，所以a=2，b=
2
，
所以此橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．    …（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)（求離心率），考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查方程思想與化歸思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長軸的左右兩頂點(diǎn)，P為橢圓上意一點(diǎn)（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時(shí)，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點(diǎn)H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明由..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的一個(gè)長軸端點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)．當(dāng)MF2⊥F1F2時(shí)，原點(diǎn)O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上變化時(shí)，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點(diǎn)，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，當(dāng)OQ1⊥OQ2時(shí)，求r的值．（用b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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