Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（x＞0），
a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）①a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$≥0在[2，3]恒成立，
f（x）在[2，3]遞增，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$；
②$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜3，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在[2，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，3]遞增，
∴f（x）的最小值是f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$；
③0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，f′（x）≤0在[2，3]恒成立，
f（x）在[2，3]遞減，
∴f（x）的最小值是f（3）=ln3-$\frac{2}{3a}$；
綜上，a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值是f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$；
$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值是f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$；
0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）的最小值是f（3）=ln3-$\frac{2}{3a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．