Question

（本小題滿分14分）
如圖，沿等腰直角三角形的中位線，將平面折起，平面⊥平面，得到四棱錐，，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，


（1）求證：平面⊥平面
（2）求證： 
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值。

Answer 1

(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)

試題分析：（1）證明:平面平面,交線為, ,   
平面.
, 兩兩互相垂直，
以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,                                               ……2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000345649319.png" style="vertical-align:middle;" />為等腰直角三角形，且，則，
則,，，，.
,,,
,,
平面,又平面
平面⊥平面.                                                  ……5分
（2）分別為的中點(diǎn),,.
設(shè)平面的法向量,由于
則  即 ,,令，則, .
, 即//平面.                                  ……9分
（3）由（2）可知平面的法向量 ，由于平面的法向量為,
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則
.                                                ……14分
點(diǎn)評(píng)：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，如果題目中沒(méi)有說(shuō)明，則要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.