Question

4．已知函數(shù)f（x）=2acos²$\frac{x}{2}$+2$\sqrt{3}$asin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-a+b，且f（$\frac{π}{3}$）=3，f（$\frac{5π}{6}$）=1
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)f（$\frac{π}{3}$）=3，f（$\frac{5π}{6}$）=1列方程組解出a，b；
（2）根據(jù)x的范圍得出x+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=acosx+$\sqrt{3}$asinx+b=2asin（x+$\frac{π}{6}$）+b．
∵f（$\frac{π}{3}$）=3，f（$\frac{5π}{6}$）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=1．
（2）由（1）得：$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）+1$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值2×$\frac{1}{2}+1$=2，
當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值2×1+1=3．
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域?yàn)閇2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．