Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AC上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD⊥FE；
（Ⅱ）試確定點(diǎn)F在線段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．由四邊形ABCD是正方形，得BD⊥平面PAC，由此能夠證明BD⊥EF．
（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于O，當(dāng)F為OC中點(diǎn)，即AF=

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AC時(shí)，EF∥平面PBD．再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明．

解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD． 又四邊形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又EF?平面PAC，
所以BD⊥EF．…（7分）
（Ⅱ）：設(shè)AC與BD交于O，當(dāng)F為OC中點(diǎn)，即AF=

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AC時(shí)，EF∥平面PBD．理由如下：
連接PO，
因?yàn)镋F∥平面PBD，EF?平面PAC，平面PAC∩平面PBD=PO，
所以EF∥PO．
在△POC中，E為PC的中點(diǎn)，
所以F為OC中點(diǎn)．
在△POC中，E，F(xiàn)分別為PC，OC的中點(diǎn)，
所以EF∥PO．
又EF?平面PBD，PO?平面PBD，
故EF∥平面PBD．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明和直線與平面平行的判定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．