Question

設定義在R上的函數f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，當x=-1時，f（x）取得極大值，且函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在函數y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在上？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知函數f（x），且函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱．所以y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即y=f（x）是奇函數，所以f（x）=a₁x³+a₃x，由題意，得進而可得答案；
（Ⅱ）在函數y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在上？屬于探索性問題．通常假設存在，看是否有解即可．假設存在兩切點為，
則f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因為（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以或即或
從而可得所求兩點的坐標分別為或．
（Ⅲ）設，求證：．關鍵在理解題意上．只需要求出

和的最值即可．求最值當然要通過求導分析單調性，再看，所屬范圍．再求．則易證．
解答：解：（Ⅰ）將y=f（x+1）的圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，
所以y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即y=f（x）是奇函數，
所以f（x）=a₁x³+a₃x，由題意，得所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，
假設存在兩切點為，
則f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因為（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以或即或
從而可得所求兩點的坐標分別為或．
（Ⅲ）因為當時，f'（x）＜0，所以f（x）在遞減．
由已知得，
所以，即．
注意到x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，1）上遞減，
由于y_m=，
所以．
因為＜-1＜，
所以，
即．
所以．
點評：這種題型屬于較難的壓軸題．關鍵在挖掘題意上做文章．