Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為曲線C，且動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離的等差中項(xiàng)為．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過(guò)圓x²+y²+4y=0的圓心Q與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及根據(jù)橢圓定義，2a=|PF₁|+|PF₂|可求a，由已知焦點(diǎn)可求c，根據(jù)b=可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可設(shè)l：y=kx-2，則y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，聯(lián)立直線y=kx-2與橢圓方程為，得x²+2（kx-2）²=2，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y=kx-2可得y₁y₂，由 ，代入可求k，進(jìn)而可求直線方程
解答：解：（1）由題意可得P的軌跡是以定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，且c=1
根據(jù)橢圓定義，得，
∴．
∴所求橢圓方程為．                                           …（6分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 ，
設(shè)l：y=kx-2，則y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-1
∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
聯(lián)立直線y=kx-2與橢圓方程為，得x²+2（kx-2）²=2
∴代入（*）得，
所求直線．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓相交的關(guān)系的應(yīng)用，解決此類試題的一般思路是聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．