Question

已知f（x）是R上的一個(gè)偶函數(shù)，g（x）是R上的一個(gè)奇函數(shù)，且滿足f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)f( 1 )=

5

4

，求a與f（2）的值；（3）設(shè)f（x₀）=m，f（2x₀）=m，求x₀與m的值．

Answer 1

分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到關(guān)于f（x）與g（x）的方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f( 1 )=

5

4

可求出a的值，再將2代入，可求出f（2）的值；
（3）根據(jù)由f（x₀）=f（2x₀）建立等式關(guān)系，解之即可求出x₀的值，從而求出m的值．

解答：（滿分12分）
解：（1）由題設(shè)知f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1，x∈R）…①
以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）所以f（x）=-g（x）+a^-x…②
由①+②得f(x)=

ax+a-x

2

（a＞0，a≠1，x∈R）；…（4分）
（2）由f(1)=

a+a-1

2

=

5

4

⇒a=2或a=

1

2

⇒f(2)=

a2+a-2

2

=

17

8

；…（8分）
（3）由f（x₀）=f（2x₀）⇒ax0+a-x0=a2x0+a-2x0=(ax0+a-x0)2-2，
所以ax0+a-x0=2⇒x₀=0；m=f（x₀）=f（0）=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題中根據(jù)函數(shù)的奇偶性與題設(shè)中所給的解析式求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，此是函數(shù)奇偶性運(yùn)用的一個(gè)技巧，做題時(shí)要細(xì)心領(lǐng)會(huì)，善加使用．