Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，且滿足${a_{n+1}}={S_n}+{2^{n+1}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件可知，${S_{n+1}}-{S_n}={S_n}+{2^{n+1}}$，即${S_{n+1}}-2{S_n}={2^{n+1}}$，整理得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{S_n}{2^n}=1$，即可證明．
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{S_n}{2^n}=1+n-1=n$，即${S_n}=n•{2^n}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：由條件可知，${S_{n+1}}-{S_n}={S_n}+{2^{n+1}}$，即${S_{n+1}}-2{S_n}={2^{n+1}}$，
整理得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{S_n}{2^n}=1$，
∴數(shù)列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{S_n}{2^n}=1+n-1=n$，即${S_n}=n•{2^n}$，
令T_n=S₁+S₂+…+S_n${T_n}=1•2+2•{2^2}+…+n•{2^n}$①
$2{T_n}=1•{2^2}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$②
①-②，$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$，
整理得${T_n}=2+（n-1）•{2^{n+1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．