已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，求點P到AC、BC的距離乘積的最大值．
分析：依題意，建系可求得直線AC的方程為
7
x+3y-3
7
=0，利用點到直線間的距離公式與基本不等式即可求得答案．
解答：解：∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，依題意，作圖如下：
BC在x軸上，B點與原點O重合，點A（0，b）在y軸正半軸上，
依題意知，b=
42-32
=
7
，
設(shè)點P（0，m）（0＜m＜
7
），
∵直線AC的方程為
x
3
+
y
7
=1，即
7
x+3y-3
7
=0，
∴點P（0，m）到直線
7
x+3y-3
7
=0的距離（即點P（0，m）到AC的距離）d=
|3m-3
7
|
(
7
)2+32
=
3
4
|m-
7
|=
3
4
（
7
-m），
又點P（0，m）到BC的距離為m，
∴點P到AC、BC的距離乘積f（m）=m•
3
4
（
7
-m）≤
3
4
•(
m+(
7
-m)
2
)2=
3
4
•
7
4
=
21
16
（當且僅當m=
7
2
時取“=”）．
∴點P到AC、BC的距離乘積的最大值為
21
16
．
點評：本題考查點到直線的距離公式，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線方程；
（2）直線l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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