Question

【題目】已知拋物線(xiàn)（），點(diǎn)在的焦點(diǎn)的右側(cè)，且到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離是到距離的3倍，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的方程和的坐標(biāo)；

（2）判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）橢圓的兩焦點(diǎn)為、，在橢圓外的拋物線(xiàn)上取一點(diǎn)，若、的斜率分別為、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2），詳見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由題意得出，以及，可求出的值，從而得出拋物線(xiàn)的方程以及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)、，直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，并求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在時(shí)，由與同時(shí)與軸垂直得出，在時(shí)，由得出，即可解答該問(wèn)題；

（3）設(shè)點(diǎn)，得出，由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上且在橢圓外得出，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得出的取值范圍.

（1）由于點(diǎn)在拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的右側(cè)，所以，，

由于到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離是到距離的倍，即，解得，

因此，拋物線(xiàn)的方程為，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2），理由如下：

設(shè)， ，聯(lián)立，

得，，

；，令得，

，令得，

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)斜率不存在，

此時(shí)，，直線(xiàn)斜率也不存在；

當(dāng)時(shí)，，則；

（3）設(shè)點(diǎn)，則，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，所以，

即，即，，解得，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

.