Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知B=60°．
（Ⅰ）若cos（B+C）=-，求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，=5，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)B與C為三角形的內(nèi)角，可得出B+C的范圍，由cos（B+C）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（B+C）的值，由B的度數(shù)求出sinB和cosB的值，然后將cosC中的角C變形為（B+C）-B，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出cosC的值；
（Ⅱ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)=5，利用誘導(dǎo)公式變形后，將a的值代入，求出bcosC=-1，記作①，再利用正弦定理列出關(guān)系式，將a的值及B的度數(shù)代入，并由B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù)，用C表示出A，代入關(guān)系式中，整理后得到一個(gè)關(guān)系式，記作②，將①代入②，得到bsinC=6，再由a的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：（本小題滿(mǎn)分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-，得
sin（B+C）===，
∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-×+×=；…（6分）
（Ⅱ）由•=5，得||•||cos（180°-C）=5，即abcosC=-5，
又a=5，∴bcosC=-1，①
由正弦定理=，得=，
∴=，
即bcosC+bsinC=5，②
將①代入②，得bsinC=6，
則△ABC的面積為S=absinC=×5×6=15．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．