Question

12．若${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)在${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，得到${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{4}$，解得n=6，寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，設(shè)二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求系數(shù)．

解答 解：若${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
則${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{4}$，解得n=6，
二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展開式通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$（x²）^6-r（$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）^r=${C}_{6}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^rx${\;}^{12-\frac{5r}{2}}$，
設(shè)二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{r}{≥C}_{6}^{r-1}（\frac{1}{2}）^{r-1}}\\{{C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{r}{≥C}_{6}^{r+1}（\frac{1}{2}）^{r+1}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}$≤r≤$\frac{7}{3}$，r為正整數(shù)
所以r=2，
則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)，即系數(shù)為${C}_{6}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{15}{4}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是正確利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意和組合數(shù)聯(lián)系，本題是中檔題．