Question

已知圓C：（x+2）²+y²=24，定點A（2，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上（C為圓心），且滿足，，設點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點B（m，0）作傾斜角為的直線l交曲線E于C、D兩點．若點Q（1，0）恰在以線段CD為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，知NP為AM的中垂線，，所以＞4=，由此能求出N的軌跡方程．
（2）設l的方程是，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，得：2x²-2mx+m²-6=0，由△＞0，得，，由點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，得，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（1）由，，知NP為AM的中垂線，
∴，∴＞4=，
∴N的軌跡是橢圓，c=2，a=，即N的軌跡方程是．
（2）由題意，l的方程是，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由，消去y，整理得：2x²-2mx+m²-6=0，
由△＞0⇒4m²-4×2（m²-6）＞0⇒，
∴，
又點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，得，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，
，
∴，
∴2m²-3m-9＜0，
即．
綜上所述，m的取值范圍．
點評：本題考查軌跡方程的求法和求實數m的取值范圍．解題時要認真審題，注意合理地挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質，合理地進行等價轉化．