已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx+1.求:
(1)f(x)的最小正周期;
(2)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)f(x)在[0,
π
2
]上的值域.
分析:(1)利用三角恒等變換公式,化簡得(x)=2sin(2x-
π
6
)+2,再由三角函數(shù)的周期公式即可算出f(x)的最小正周期;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),解關(guān)于x的不等式
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
2
+2kπ(k∈Z),即可得到f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)由當(dāng)x∈[0,
π
2
]時2x-
π
6
∈[-
π
6
,
6
],結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,即可得到f(x)在[0,
π
2
]上的值域.
解答:解:(1)f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx+1
=1-cos2x+
3
sin2x+1=2sin(2x-
π
6
)+2
∴f(x)的最小正周期T=
2
=π;
(2)令
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
2
+2kπ(k∈Z)
解得-
π
3
+kπ≤x≤
6
+kπ(k∈Z),
因此,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-
π
3
+kπ,
6
+kπ],(k∈Z)
(3)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時,2x-
π
6
∈[-
π
6
,
6
]
可得當(dāng)x=0時,sin(2x-
π
6
)有最小值為-
1
2
;當(dāng)x=
π
3
時,sin(2x-
π
6
)有最大值為1
∴f(x)在[0,
π
2
]上最大值為f(
π
3
)=4;最小值為f(-
π
6
)=1
可得f(x)在[0,
π
2
]上的值域?yàn)閇1,4].
點(diǎn)評:本題給出三角函數(shù)表達(dá)式,求函數(shù)的周期與單調(diào)性.著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時,值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時,函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn);
(2)如果函數(shù)的一個零點(diǎn)在原點(diǎn),求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案