Question

已知實數(shù)x、y滿足方程x²＋y²－4x＋1＝0．求：

(1)求的最大值和最小值；

(2)求x²＋y²的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)原方程化為(x－2)2＋y2＝3，表示以點(2，0)為圓心，以為半徑的圓．設＝k，即y＝kx，當直線與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時有，解得：k＝±．故的最大值為，最小值為． 　　(2)x2＋y2表示圓上一點到原點距離的平方，由平面幾何知識知原點與圓心的連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值． 　　又圓心到原點的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－．

提示：

方程x2＋y2－4x＋1＝0表示圓心(2，0)，半徑的圓；的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，x2＋y2表示圓上一點到原點距離的平方，故可借助于平面幾何知識，利用數(shù)形結合來求解．