如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，D，E分別為BC，BB1的中點，BB1的中點，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形．

(1)求證：A1B∥平面AC1D；

(2)求證：CE⊥平面AC1D；

(3)求二面角C－AC1－D的余弦值．

答案：
解析：

　　(1)證明：連結，與交于O點，連結OD．

　　因為O，D分別為和BC的中點，

　　所以OD//．

　　又OD，，

　　所以．　4分

　　(2)證明：在直三棱柱中，

　　，

　　所以．

　　因為為BC中點，

　　所以又，

　　所以．

　　又

　　因為四邊形為正方形，D，E分別為BC，的中點，

　　所以．

　　所以．所以

　　　8分

　　(3)解：如圖，以的中點G為原點，建立空間直角坐標系，

　　則A(0，6，4)，E(3，3，0)，C(－3，6，0)，．

　　由(Ⅱ)知為平面AC1D的一個法向量．

　　設為平面的一個法向量，

　　＝(－3，0，－4)，CC1＝(0，－6，0)

　　由

　　令，則．

　　所以．

　　從而．

　　因為二面角為銳角，

　　所以二面角的余弦值為．　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學 題型：解答題

 

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高考試題數(shù)學理（四川卷）解析版 題型：解答題

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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