Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

2

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式便是：a_n=2n-1；
（2）求出b_n=

2

(2n-1)(2n+1)

，看到該式子時(shí)就應(yīng)想到用裂項(xiàng)法將其變成：bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，這樣在求{b_n}前n項(xiàng)和時(shí)可以前后項(xiàng)抵消，從而求出T_n．

解答： 解：（1）a₁=S₁=1；
n＞1時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，n=1時(shí)也滿足a₁=1；
∴a_n=2n-1；
（2）bn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

；
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，以及根據(jù)前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式的方法，以及裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和．