Question

設(shè)曲線y=（x-2）²（0＜x＜2）上動(dòng)點(diǎn)P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB面積的最大值為________．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到直線的斜率，寫出切線的方程，表示出△AOB的面積，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
解答：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），（0＜x₀＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切線的斜率為2（x₀-2）．
切線方程為y．
令y=0，解得．∴A．
令x=0，解得y=．∴．
∴S_△AOB=|AO||OB|==．
令，則=-（3x₀-2）（x₀+2）．
令f^′（x₀）=0，又0＜x₀＜2，解得．列表如下：
由表格可得到：當(dāng)時(shí)，f（x₀）取得極大值，也即最大值．
此時(shí)，S_△AOB取得最大值，=．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、三角形的面積公式、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．